Question

【題目】定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則n的所有可能的值為( )

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

Answer 1

【答案】B

【解析】

由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得是奇函數(shù)，由此可作出函數(shù)的圖象，利用圖象可分析方程的根的個(gè)數(shù)，再用換元法（設(shè)）把原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過這個(gè)二次方程根的研究得出原方程解的個(gè)數(shù)．

∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴是奇函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，

作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知的解的個(gè)數(shù)是1，2，3.

或時(shí)，有一個(gè)解，時(shí)，有兩個(gè)解，時(shí)，有三個(gè)解，

方程中設(shè)，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實(shí)根，，，，兩根一正一負(fù)，不妨設(shè)，

若，則，，和都有兩個(gè)根，原方程有4個(gè)根；

若，則，，∴，，有三個(gè)根，有一個(gè)根，原方程共有4個(gè)根；

若，則，，∴，，有一個(gè)根，有三個(gè)根，原方程共有4個(gè)根．

綜上原方程有4個(gè)根．

故選：B.