Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-9x-6（x∈R），l是曲線y=f（x）在點P（-1，f（-1））處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求l的方程；
（Ⅱ）根據(jù)切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可求實數(shù)a的值．

解答： 解：（I）f（x）=x³-ax-9x-6，f（-1）=2-a，切點（-1，2-a），
f′（x）=3x²-2ax-9，f′（-1）=2a-6，切線斜率為2a-6，切點P（0，1），則斜率k=-1，
則切線方程為y-（2-a）=（2a-6）（x+1），即y=（2a-6）x+a-4．
（II）切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價x³-ax²-9x-6=（2a-6）x+a-4，即x³-ax²-（2a+3）x-（a+2）=0有且只有一個實數(shù)解，
令h（x）=x³-ax²-（2a+3）x-（a+2），則方程h（x）=x³-ax²-（2a+3）x-（a+2）=0有且只有一個實數(shù)解，
∵h（-1）=-1-a+（2a+3）-（a+2）=0，∴h（x）=0有一個解x=-1，
h′（x）=3x²-2ax-（2a+3）=（x+1）[3x-（2a+3）]，
令h′（x）=0，解得x=-1或x=

2a+3

3

．
①

2a+3

3

=-1即a=-3時，h′(x)=3(x+1)2≥0，h(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，
∴x=-1是方程h（x）=0的唯一解；  
②

2a+3

3

＞-1即a＞-3時，h′(x)=0二根x1=-1，x2=

2a+3

3

＞-1．

x	（-∞，0）	-1
	+	0	-	0	+
		極大值0		極小值

∴h（

2a+3

3

）＜h（-1）=0，當x→+∞，h（x）→+∞，
∴方程h（x）=0在（

2a+3

3

，+∞）上還有一個解，故h（x）=0的解不唯一．
③

2a+3

3

＜-1即a＜-3時，h′(x)=0二根x1=-1，x2=

2a+3

3

＜-1．

x				-1
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值0

∴h（

2a+3

3

）＞h（-1）=0，當x→-∞，h（x）→-∞，
∴方程h（x）=0在（（-∞，

2a+3

3

）上還有一個解，故h（x）=0的解不唯一．
綜上若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，則a=-3．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力．