Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為直線l：上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D、O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求的周長；

（2）設(shè)直線的斜線分別為，證明：；

（3）問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，或

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義可知所求三角形周長為，結(jié)合橢圓方程可得到結(jié)果；

（2）由橢圓方程可知焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出，代入整理可得結(jié)論；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，假設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理的表示出，同理可得，由可得到關(guān)于的方程；根據(jù)（2）中結(jié)論知，聯(lián)立求得，進(jìn)而得到兩直線方程，兩直線方程聯(lián)立可求得滿足題意的點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由橢圓定義知：

的周長為：

（2）由題意得：，，設(shè)

，

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得

設(shè)，，，

設(shè)直線：；直線：

聯(lián)立得： ，

同理可得：

…①

由（2）知，…②

①②聯(lián)立可解得：或

或 或

存在點(diǎn)或，使得