棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在線段AB1，BC1上，且AM=BN，給出以下結(jié)論：其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�
①AA1⊥MN
②異面直線AB1，BC1所成的角為60°
③四面體B1-D1CA的體積為
1
3

④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．
A．1B．2C．3D．4

對(duì)于①，分別作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E、F，連結(jié)EF
由AM=BN利用正方體的性質(zhì)，可得四邊形MNEF為平行四邊形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥MN，因此可得①正確；
對(duì)于②，連結(jié)B1D1、AD1，可得∠B1AD1就是異面直線AB1，BC1所成的角
∵△B1AD1是等邊三角形，∴∠B1AD1=60°
因此異面直線AB1，BC1所成的角為60°，得到②正確；
對(duì)于③，四面體B1-D1CA的體積為
V=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC=1-4×
1
6
=
1
3
，得到③正確；
對(duì)于④，根據(jù)A1B1⊥平面BB1C1C，得到A1B1⊥BC1，
由正方形BB1C1C中證出B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1C，
結(jié)合A1C?平面A1B1C，得A1C⊥BC1，同理可證出A1C⊥AB1，從而得到④正確
綜上所述，四個(gè)命題都是真命題
故選：D
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=
1
2
AD，PA=PD，E，F(xiàn)為AD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：AD⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2
3
，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=
π
3
．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=3MB，線段CE上是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE？若存在，求出CN的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，且BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求多面體B1C1ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求證：AC⊥平面B1D1DB；
（2）求證：BD1⊥平面ACB1
（3）求三棱錐B-ACB1體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，側(cè)面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中點(diǎn)，在PC上求一點(diǎn)F，使得PG∥面DEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形，設(shè)D為AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；
（Ⅱ）求證：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）BC邊上是否存在點(diǎn)P，使AP∥平面BDC1？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，證明你的結(jié)論．

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