Question

若數(shù)列{a_n}滿足前n項之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）證明：{

bn

2n

}是等差數(shù)列
（3）求b_n的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-4可求a₁=4，當(dāng)n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4即a_n=2a_n-1，可得a_n，
（2）b_n+1=a_n+2b_n，代入a_n可證，
（3）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，考慮利用錯位相減可求T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-4
∴a₁=4
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4
即a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2
∴a_n=2ⁿ⁺¹，
（2）b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1
又

b1

21

=

2

2

=1
∴

bn

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（3）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得 T_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=

-2(1-2n)

1-2

+n•2n+1
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造等差及等比數(shù)列進行求解，要注意對錯位相減求解數(shù)列和的方法的掌握，這是數(shù)列求和中的重點和難點．