9.已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),焦距為2c,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若M是∠F1PF2的角平分線上的一點(diǎn),且MF1⊥MP,則OM的取值范圍為(0,c).

分析 利用M是∠F1PF2平分線上的一點(diǎn),且F1M⊥MP,判斷OM是三角形F1F2N的中位線,把OM用PF1,PF2表示,再利用橢圓的焦半徑公式,轉(zhuǎn)化為用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示,借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍.

解答 解:如圖,延長(zhǎng)PF2,F(xiàn)1M,交與N點(diǎn),∵PM是∠F1PF2平分線,且F1M⊥MP,
∴|PN|=|PF1|,M為F1N中點(diǎn),
連接OM,∵O為F1F2中點(diǎn),M為F1N中點(diǎn)
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F2N|=$\frac{1}{2}$||PN|-|PF2||=$\frac{1}{2}$||PF1|-|PF2||
∵在橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)中,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0
則|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,
∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0-a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|
∵P點(diǎn)在橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)上,
∴|x0|∈(0,a],
又∵當(dāng)|x0|=a時(shí),F(xiàn)1M⊥MP不成立,∴|x0|∈(0,a)
∴|OM|∈(0,c).
故答案為:(0,c).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形中位線定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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