【題目】如圖,底面ABCD是邊長為3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=,DE=.
(1)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值;
(2)在線段AF上是否存在點(diǎn)M,使得二面角MBED的大小為60°?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)存在;.
【解析】
(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA,DC,DE分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立空間坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出坐標(biāo),求出平面BEF的法向量坐標(biāo),按空間向量線面角公式,即可求解;
(2)設(shè)M(3,0,t),0≤t≤,求出平面MBE的法向量坐標(biāo),利用是平面BED的一個法向量,按空間向量面面角公式,即可求出結(jié)論.
(1)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),
射線DA,DC,DE分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,
建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.則A(3,0,0),
F(3,0,),E(0,0,),B(3,3,0),
C(0,3,0),=(3,-3,0),=(-3,-3,3),
=(3,0,).
設(shè)平面BEF的法向量為=(x1,y1,z1),
取x1=,得=(,2,3).
所以
所以直線CA與平面BEF所成角的正弦值為.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)M在線段AF上滿足條件,
設(shè)M(3,0,t),0≤t≤,
則=(0,-3,t),=(-3,-3,).
設(shè)平面MBE的法向量為=(x2,y2,z2),
令y2=t,得m=(-t,t,3).
易知=(3,-3,0)是平面BED的一個法向量,
所以|=,
整理得2t2-t+15=0,解得t=或t=(舍去),
故在線段AF上存在點(diǎn)M,使得二面角MBED的大小為60°,此時.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足>1,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實數(shù)a的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知南北回歸線的緯度為,設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為,為此時太陽直射緯度,為該地的緯度值,那么這三個量之間的關(guān)系是.當(dāng)?shù)叵陌肽?/span>取正值,冬半年取負(fù)值,如果在北半球某地(緯度為)的一幢高為的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離應(yīng)不小于______(結(jié)果用含有和的式子表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由國家統(tǒng)計局提供的數(shù)據(jù)可知,2012年至2018年中國居民人均可支配收入(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均可支配收入 | 1.65 | 1.83 | 2.01 | 2.19 | 2.38 | 2.59 | 2.82 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2012年至2018年中國居民人均可支配收入的變化情況,并預(yù)測2019年中國居民人均可支配收入.
附注:參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為: ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是正方形,點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.
(1)證明:平面.
(2)若,當(dāng)三棱錐的體積最大時,求到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, .點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為、,P為該雙曲線上一點(diǎn),滿足,P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為d,且,則________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體,過對角線作平面交棱于點(diǎn)E,交棱于點(diǎn)F,則:
①平面分正方體所得兩部分的體積相等;
②四邊形一定是平行四邊形;
③平面與平面不可能垂直;
④四邊形的面積有最大值.
其中所有正確結(jié)論的序號為( )
A.①④B.②③C.①②④D.①②③④
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