Question

12．已知函數(shù)$f（x）=lg（\sqrt{4{x^2}+b}+2x）$，其中b是常數(shù)．
（1）若y=f（x）是奇函數(shù)，求b的值；
（2）求證：y=f（x）是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出b的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）設(shè)y=f（x）的定義域為D，
∵y=f（x）是奇函數(shù)，∴對任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，
得b=1，此時，$f（x）=lg（\sqrt{4{x^2}+1}+2x）$，D=R，為奇函數(shù)．
（2）設(shè)定義域內(nèi)任意x₁＜x₂，
$h（x）=\sqrt{4{x^2}+b}+2x$，$h（{x_1}）-h（{x_2}）=\sqrt{4x_1^2+b}+2{x_1}-\sqrt{4x_2^2+b}-2{x_2}$
=$2[\frac{2x_1^2-2x_2^2}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}+{x_1}-{x_2}]$=$2（{x_1}-{x_2}）[\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}+1]$
當(dāng)b≤0時，總有0＜x₁＜x₂，$\sqrt{4x_1^2+b}≤2{x_1}$，$\sqrt{4x_2^2+b}≤2{x_2}$，
∴$\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}≥1$，得h（x₁）＜h（x₂），
當(dāng)b＞0時，∵x₁-x₂＜0，$\sqrt{4x_1^2+b}＞2{x_1}$，$\sqrt{4x_2^2+b}＞2{x_2}$，
∴$-1＜\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}＜1$，得h（x₁）＜h（x₂），
故總有f（x）在定義域上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的證明，是一道中檔題．