【題目】已知函數(shù)(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)①當(dāng),時(shí),若對(duì)于任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;②當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)①;②存在,使得命題成立
【解析】
(1)利用切線方程可知,,從而構(gòu)造出方程組求得,得到解析式,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定的單調(diào)區(qū)間;(2)①將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立;設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求解,可得;②設(shè)存在,使得,將問題轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)分別在,和研究的最大值和最小值,從而根據(jù)最值的關(guān)系可求得的取值范圍.
(1)由題意
在點(diǎn)處的切線方程為:
,,即: 解得:,
,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)①由,,,即:
對(duì)任意,都有恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立
記,
設(shè) 對(duì)恒成立
在單調(diào)遞增
而,
在上有唯一零點(diǎn)
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
的最大值是和中的較大的一個(gè)
,即 ,
的最小值為
②假設(shè)存在,使得,則問題等價(jià)于
⑴當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減
,即,得:
(2)當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增
,即,得:
(3)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
,即……(*)
由(1)知
不等式(*)無解
綜上所述,存在,使得命題成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一年之計(jì)在于春,一日之計(jì)在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.
(1)當(dāng)取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?
(2)當(dāng)時(shí),用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,
已知圓和圓.
(1)若直線過點(diǎn),且被圓截得的弦長為,
求直線的方程;(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:
存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線和,
它們分別與圓和圓相交,且直線被圓
截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,為線段上一點(diǎn),且,平面,與平面所成的角為.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查煤礦公司員工的飲食習(xí)慣與月收入之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取了30名員工,并制作了這30人的月平均收入的頻率分布直方圖和飲食指數(shù)表(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主).其中月收入4000元以上員工中有11人飲食指數(shù)高于70.
20 | 21 | 21 | 25 | 32 | 33 |
36 | 37 | 42 | 43 | 44 | 45 |
45 | 58 | 58 | 59 | 61 | 66 |
74 | 75 | 76 | 77 | 77 | 78 |
78 | 82 | 83 | 85 | 86 | 90 |
(Ⅰ)是否有95%的把握認(rèn)為飲食習(xí)慣與月收入有關(guān)系?若有請(qǐng)說明理由,若沒有,說明理由并分析原因;
(Ⅱ)以樣本中的頻率作為概率,從該公司所有主食蔬菜的員工中隨機(jī)抽取3人,這3人中月收入4000元以上的人數(shù)為,求的分布列與期望;
(Ⅲ)經(jīng)調(diào)查該煤礦公司若干戶家庭的年收入(萬元)和年飲食支出(萬元)具有線性相關(guān)關(guān)系,并得到關(guān)于的回歸直線方程:.若該公司一個(gè)員工與其妻子的月收入恰好都為這30人的月平均收入(該家庭只有兩人收入),估計(jì)該家庭的年飲食支出費(fèi)用.
附:
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是半圓的直徑,,是將半圓圓周四等分的三個(gè)分點(diǎn).
(1)從這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn),求這3個(gè)點(diǎn)組成直角三角形的概率;
(2)在半圓內(nèi)任取一點(diǎn),求的面積大于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是等比數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列,且, , , .
求(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,四邊形BDEF是矩形,平面平面ABCD,,H是CF的中點(diǎn).
(1)求證:平面BDEF;
(2)求直線DH與平面CEF所成角的正弦值;
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