【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , ,平面平面, 為的中點, 是棱上的點, , , .
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角大小為,求線段的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,從而.又.從而平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面;(2)以為原點, 為軸, 為軸, 為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角余弦公式可確定的位置,進而可得結(jié)果.
試題解析:
(1)∵, , 為的中點,
∴四邊形為平行四邊形,∴
又∵,∴,即.
又∵平面平面,且平面平面
∴平面,∵平面,
∴平面平面.
(2)∵, 為的中點,∴
∵平面平面,且平面平面
∴平面
如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,
平面的法向量為
又,∴設(shè),
又,設(shè)平面的法向量為
取
∵二面角為,∴
∴,∴線段的長為.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),P、Q分別為直線與x軸、y軸的交點,線段PQ的中點為M.
(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求點M的極坐標(biāo)和直線OM的極坐標(biāo)方程.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點叫做格點.若函數(shù)圖象恰好經(jīng)過k個格點,則稱函數(shù)為k階格點函數(shù).已知函數(shù):
①y=sinx; ②y=cos(x+); ③y=ex-1; ④y=x2.
其中為一階格點函數(shù)的序號為 ( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
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【題目】甲、乙兩人做游戲,下列游戲不公平的是( )
A. 拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲獲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙獲勝
B. 同時拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則甲獲勝,兩枚都正面向上則乙獲勝
C. 從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則甲獲勝,撲克牌是黑色的則乙獲勝
D. 甲、乙兩人各寫一個數(shù)字1或2,如果兩人寫的數(shù)字相同甲獲勝,否則乙獲勝
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【題目】已知直線C1 (t為參數(shù)),C2 (θ為參數(shù)),
(Ⅰ)當(dāng)α= 時,求C1與C2的交點坐標(biāo);
(Ⅱ)過坐標(biāo)原點O做C1的垂線,垂足為A,P為OA中點,當(dāng)α變化時,求P點的軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.
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【題目】已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點.
(1)求a;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
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【題目】(本小題滿分12分)在如圖所示的五面體中,面為直角梯形, ,平面平面, , 是邊長為2的正三角形.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,古代用它作為長方體棱臺(上、下底面均為矩形額棱臺)的專用術(shù)語,關(guān)于“芻童”體積計算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上表,下表從之,亦倍小表,上表從之,各以其廣乘之,并,以高若深乘之,皆六面一.”其計算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘;將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一,以此算法,現(xiàn)有上下底面為相似矩形的棱臺,相似比為,高為3,且上底面的周長為6,則該棱臺的體積的最大值是( )
A. 14 B. 56 C. D. 63
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【題目】已知函數(shù),A,B是曲線上兩個不同的點.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間,并寫出實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)證明: .
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