Question

9．某飛機(jī)失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小島O附近．現(xiàn)派出四艘搜救船A，B，C，D，為方便聯(lián)絡(luò)，船A，B始終在以小島O為圓心，100海里為半徑的圓上，船A，B，C，D構(gòu)成正方形編隊(duì)展開(kāi)搜索，小島O在正方形編隊(duì)外（如圖）．設(shè)小島O到AB的距離為x，∠AOB=α，D船到小島O的距離為d．
（1）請(qǐng)分別求d關(guān)于x，α的函數(shù)關(guān)系式d=g（x），d=f（α）；并分別寫(xiě)出定義域；
（2）當(dāng)A，B兩艘船之間的距離是多少時(shí)搜救范圍最大（即d最大）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x的單位為百海里，由∠OAB=α，求出AB，AD，在△AOD中，求解即可．若小島O到AB的距離為x，通過(guò)$AB=2\sqrt{{1^2}-{x^2}}$，求解OD即可．
（2）通過(guò)OD²=4cos²α+1+4cosαsinα；結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)最值求解即可．

解答 解：設(shè)x的單位為百海里
（1）由∠OAB=α，AB=2OAcosA=2cosA，AD=AB=2cosα，…（2分）
在△AOD中，$OD=f（α）=\sqrt{O{A^2}+O{B^2}-2×OA×OBcos（α+\frac{π}{2}）}$…（3分）
=$\sqrt{1+4{{cos}^2}α+4cosαsinα}$；$α∈（0，\frac{π}{2}）$（定義域1分）…（5分）
若小島O到AB的距離為x，$AB=2\sqrt{{1^2}-{x^2}}$，…（6分）
$OD=g（x）=\sqrt{{{（x+\frac{AD}{2}）}^2}+{{（\frac{AB}{2}）}^2}}$…（8分）
=$\sqrt{-{x^2}+2x\sqrt{1-{x^2}}+2}$，x∈（0，1）（定義域1分）     …（10分）
（2）OD²=4cos²α+1+4cosαsinα；$α∈（0，\frac{π}{2}）$
=$4×\frac{1+cos2α}{2}+1+4×\frac{sin2α}{2}$
=2（sin2α+cos2α）+3
=$2\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+3，α∈（0，\frac{π}{2}）$．…（11分）
當(dāng)$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，則$2α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$時(shí)，即$α=\frac{π}{8}$，OD取得最大值，…（12分）
此時(shí)$AB=2cos\frac{π}{8}=2×\sqrt{\frac{{1+cos\frac{π}{4}}}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$（百海里）．…（13分）
答：當(dāng)AB間距離$100\sqrt{2+\sqrt{2}}$海里時(shí)，搜救范圍最大．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的方程的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．