Question

已知AB為半圓的直徑，P為半圓上一點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P做橢圓，當(dāng)點(diǎn)P在半圓上移動(dòng)時(shí)，橢圓的離心率有（　�。�

• A．最大值

  1

  2

• B．最小值

  1

  2

• C．最大值

  2

  2

• D．最小值

  2

  2

Answer 1

分析：根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²，再利用基本不等式算出|PA|+|PB|≤

2

|AB|．再由以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，利用橢圓的定義與離心率的公式加以計(jì)算，可得當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)，橢圓的離心率有最小值

2

2

．

解答：解：∵AB為半圓的直徑，點(diǎn)P在半圓上．
∴∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²．
根據(jù)基本不等式，得（|PA|+|PB|）²≤2（|PA|²+|PB|²）=2|AB|²，
∴|PA|+|PB|≤

2

|AB|．
又∵以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，
∴橢圓的長(zhǎng)軸2a=|PA|+|PB|，焦距2c=|AB|，
由此可得橢圓的離心率e=

2c

2a

=

|AB|

|PA|+|PB|

≥

|AB|

2 |AB|

=

2

2

．
即當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)，橢圓的離心率有最小值

2

2

．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出以半圓的直徑AB為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過半圓上一點(diǎn)P，求橢圓離心率的最值．著重考查了圓周角定理、利用基本不等式求最值和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．