Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的兩個焦點(diǎn)，M，N是雙曲線C的一條漸近線上的兩點(diǎn)，四邊形MF₁NF₂為矩形，A為雙曲線的一個頂點(diǎn)，若△AMN的面積為$\frac{1}{2}{c}^{2}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)M（x，$\frac{a}$x），由題意，|MO|=c，則x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面積為$\frac{1}{2}{c}^{2}$，建立方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)M（x，$\frac{a}$x），由題意，|MO|=c，則x=a，∴M（a，b），
∵△AMN的面積為$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
∴$\frac{1}{2}•a•b=\frac{1}{4}{c}^{2}$，
∴4a²（c²-a²）=c⁴，
∴e⁴-4e²+4=0，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．