【題目】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 已知對(duì)任意的n∈N+ , 點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù)的圖象上.
(1)求r的值.
(2)當(dāng)b=2時(shí),記bn=2(log2an+1)(n∈N+),證明:對(duì)任意的n∈N+,不等式成立

【答案】
(1)解:(1)因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+,點(diǎn)(n,Sn),

均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù)的圖象上.

所以得Sn=bn+r,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=b+r,

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn1=bn+r﹣(bn1+r)=bn﹣bn1=(b﹣1)bn1,

又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以r=﹣1,公比為b,an=(b﹣1)bn1


(2)當(dāng)b=2時(shí),an=(b﹣1)bn1=2n1,bn=2(log2an+1)=2(log22n1+1)=2n

所以

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 成立.

當(dāng)n=1時(shí),左邊= ,右邊=

因?yàn)? ,所以不等式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,

成立

則當(dāng)n=k+1時(shí),

左邊=

所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立


【解析】本題考查的數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列的性質(zhì).(1)由已知中因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+ , 點(diǎn)(n,Sn),均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù)的圖象上.根據(jù)數(shù)列中an與Sn的關(guān)系,我們易得到一個(gè)關(guān)于r的方程,再由數(shù)列{an}為等比數(shù)列,即可得到r的值.(2)將b=2代入,我們可以得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,再由bn=2(log2an+1)(n∈n),我們可給數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可將不等式 進(jìn)行簡化,然后利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點(diǎn)E在CC1上且C1E=3EC
(1)證明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.

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【題目】在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AF=CF,求證:AC⊥平面BEF;
(2)已知G、H分別是EC和FB的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC.

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【題目】若函數(shù),.

)求的單調(diào)區(qū)間和極值;

)證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).

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【題目】先閱讀下列結(jié)論的證法,再解決后面的問題:已知a1 , a2∈R,a1+a2=1,求證a12+a22
【證明】構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x﹣a12+(x﹣a22
則f(x)=2x2﹣2(a1+a2x+a12+a22
=2x2﹣2x+a12+a22
因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0.
所以△=4﹣8(a12+a22)≤0,從而得a12+a22 ,
(1)若a1 , a2 , …,an∈R,a1+a2+…+an=1,請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣式;
(2)參考上述解法,對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明.

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【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于AB的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn).

(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;

(2)設(shè)AB=PC=2,BC=1,求三棱錐P-BEF的體積.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè) π<x< π,且方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和.

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(1)求角的大;

(2)若,求的面積.

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A.
B.
C.﹣
D.﹣

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