已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足條件:對(duì)于任意的x、y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證:f(0)=0;

(2)求證:f(x)是奇函數(shù),試舉出兩個(gè)這樣的函數(shù);

(3)若當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0.

①試判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并證明之;

②判斷函數(shù)|f(x)|=a所有可能的解的個(gè)數(shù),并求出對(duì)應(yīng)的a的范圍.

解析:(1)證明:令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.?

(2)證明:令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù);?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x1、x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0.?

f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0.?

∴f(x2)<f(x1).

∴函數(shù)f(x)為(-∞,+∞)上的減函數(shù).?

②顯然本題中的函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,f(0)=0,所以|f(x)|≥0,判定|f(x)|=a的解的個(gè)數(shù)也就是判定y=|f(x)|與y=a的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)a>0時(shí),有兩解;?

當(dāng)a=0時(shí),有一解;?

當(dāng)a<0時(shí),無(wú)解.

答案:(1)令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0).?

(2)令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),?

故f(x)為奇函數(shù).?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x1<x2,則x2-x1>0,?

f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,?

則f(x2)<f(x1),?

所以該函數(shù)f(x)為(-∞,+∞)上的單調(diào)減函數(shù).

②當(dāng)a>0時(shí),有兩解;

當(dāng)a=0時(shí),有一解;

當(dāng)a<0時(shí),無(wú)解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

18、已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足條件:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時(shí),f(x)>0,f(1)=2,
(1)求f(0);f(2);
(2)證明:f(x)是奇函數(shù);
(3)證明:f(x)是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足條件:對(duì)任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0)的值,
(2)求證:f(x)是奇函數(shù),
(3)舉出一個(gè)符合條件的函數(shù)y=f(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn,(x∈N*),其導(dǎo)函數(shù)記為fn′(x),且滿(mǎn)足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1x2-x1
,其中a,x1,x2為常數(shù),x1≠x2.設(shè)函數(shù)g(x)=f1(x)+mf2(x)-lnf3(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)無(wú)極值點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)g′(x)有零點(diǎn),求m的值;
(Ⅲ)求函數(shù)g(x)在x∈[0,a]的圖象上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率k的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足xf(x)為偶函數(shù),f(x+2)=-f(x),(x∈R) 且當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=(2-x)3
(1)求-1≤x≤0時(shí),函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求f(2008)、f(2008.5)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),那么y1=f(
π
3
)
,y2=f(3x2+1)y3=f(log2
1
4
)
之間的大小關(guān)系為(  )

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