14.定義有限數(shù)集A中的最大元素與最小元素之差為A的“長度”,如:集合A1={1,2,4}的“長度”為3,集合A2={3}的“長度”為0.已知集合U={1,2,3,4,5,6},則U的所有非空子集的“長度”之和為201.

分析 根據(jù)題意,結(jié)合集合長度的定義,對(duì)集合A的子集分6種情況討論,每種情況下分析符合條件的子集的數(shù)目,進(jìn)而計(jì)算可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,集合長度的定義,對(duì)集合A的子集分類討論:
①、長度為0的子集,共6個(gè):即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6},
②、長度為1的子集,必須為兩個(gè)元素的集合,且其元素為相鄰的兩個(gè)自然數(shù),共5個(gè):
即{1,2}、{2,3}、{3,4}、{4,5}、{5,6},
③、長度為2的子集,即子集中最大最小元素差為2,
其中最小、最大元素有4種情況:即1、3,2、4,3、5,4、6;
每種情況有2個(gè)子集,
則共有8個(gè)子集,
④、長度為3的子集,即子集中最大最小元素差為3,
其中最小、最大元素有3種情況:即1、4,2、5,3、6;
每種情況有4個(gè)子集,
則共有12個(gè)子集,
⑤、長度為4的子集,即子集中最大最小元素差為4,
其中最小、最大元素有2種情況:即1、5,2、6;
每種情況有8個(gè)子集,
則共有16個(gè)子集,
⑥、長度為6的子集,即子集中最大最小元素差為5,
其中最小、最大元素有1種情況:即1、6;
則共有16個(gè)子集,
則U的所有非空子集的“長度”之和為:6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201;
故答案為:201.

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及集合的子集的定義,關(guān)鍵是明確集合長度的定義,進(jìn)而進(jìn)行分類討論.

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