Question

13．設(shè)a，b∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx+1$，g（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．列出方程即可求解b．
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=，通過-1≤a≤1時，當a²＞1時，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，可得h（0）0．求出h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，求出導(dǎo)數(shù)u'（x）=e^x-2．當x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調(diào)遞減，求出$a=\frac{1}{2}$．考慮$a≤\frac{1}{2}$的情況，$a＞\frac{1}{2}$的情況，分別通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，推出a的范圍即可．

解答 （Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，
當a²≤1時，即-1≤a≤1時，f'（x）≥0，從而函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
當a²＞1時，$f'（x）=（{x+a+\sqrt{{a^2}-1}}）（{x+a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，此時
若$x∈（{-∞，-a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若$x∈（{-a-\sqrt{{a^2}-1}，-a+\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若$x∈（{-a+\sqrt{{a^2}-1}，+∞}）$時，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，則h（0）=e⁰-1=0．h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，則u'（x）=e^x-2．
當x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調(diào)遞減，
令u（0）=h'（0）=1-2a=0，得$a=\frac{1}{2}$．
先考慮$a≤\frac{1}{2}$的情況，此時，h'（0）=u（0）≥0；
又當x∈（-∞，0）時，h'（x）單調(diào)遞減，所以h'（x）＞0；
故當x∈（-∞，0）時，h（x）單調(diào)遞增；
又因為h（0）=0，故當x＜0時，h（x）＜0，
從而函數(shù)g（x）-f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減；
又因為g（0）-f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在區(qū)間（-∞，0）恒成立．
接下來考慮$a＞\frac{1}{2}$的情況，此時，h'（0）＜0，
令x=-a，則h'（-a）=e^-a＞0．
由零點存在定理，存在x₀∈（-a，0）使得h'（x₀）=0，
當x∈（x₀，0）時，由h'（x）單調(diào)遞減可知h'（x）＜0，所以h（x）單調(diào)遞減，
又因為h（0）=0，故當x∈（x₀，0）時h（x）＞0．
從而函數(shù)g（x）-f（x）在區(qū)間（x₀，0）單調(diào)遞增；
又因為g（0）-f（0）=0，所以當x∈（x₀，0），g（x）＜f（x）．
綜上所述，若g（x）＞f（x）在區(qū)間（-∞，0）恒成立，則a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]$．…（14分）

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．