精英家教網(wǎng)如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2，短軸兩個端點為A、B．已知|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比數(shù)列，|
F1B
|-
|F1F2
|=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1•k2=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知
|OB|
和
|F1B|
，通過|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比數(shù)列推斷出a2=2bc，進而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，利用
F1B•
F1F2
=2求得b，則a可求，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和M，N的坐標，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2，進而利用k1•k2=
3
2
求得b，進而可求得直線l與y軸相交的點．
解答：解：（Ⅰ）易知
|OB|
=b，
|F1B|
=a
|F1F2|
=2c，（其中c=
a2-b2
），則由題意知有a2=2bc．又∵a2+b2=c2，聯(lián)立得b=c．∴a=
2
b．
∵
F1B•
F1F2
=2，∴2cos45°=2．∴b2=1a2=1．
故橢圓C的方程為y2+
x2
2
=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為M（x1，y1）、N（x2，y2）．
由
y2+
x2
2
=1
y=kx+b
?（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0．
∴x1+x2=-
4kb
1+2k2
，x1x2=
2b2-2
1+2k2

∵k1=
y1+1
x1
，k2=
y2+1
x2
．
∴k1k2=
(kx1+1+b)
x1
•
(kx2+1+b)
x2
=
kx1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b2)
x1x2
=
3
2
．
將韋達定理代入，并整理得
2k2(1+b)-4k2b+(1+2k2)(1+b)
b-1
=3，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合．考查了學生分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2，短軸兩個端點為A、B．已知|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比數(shù)列，|
F1B
|-
|F1F2
|=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1•k2=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標；
（Ⅲ）當弦MN的中點P落在四邊形F1AF2B內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0，a＞b＞0）和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成的曲線C如圖所示．曲線C交x軸于點A，B，交y軸于點G，H，點M是半圓上異于A，B的任意一點，當點M位于點（
6
3
，-
3
3
）時，△AGM的面積最大，則半橢圓的方程為
y2
2
+x2=1（y≥0）
y2
2
+x2=1（y≥0）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0）右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B，與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1，k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；     
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．

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