Question

19．設(shè)f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與2x-y+6=0．
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的切線方程，根據(jù)系數(shù)相等，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f（x）=a（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，
f′（1）=-8a+6，f（1）=16a，
故切線方程是：y-16a=（-8a+6）（x-1），
即（-8a+6）x-y+24a-6=0，
即2x-y+6=0，
故$\left\{\begin{array}{l}{-8a+6=2}\\{24a-6=6}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）：f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx，
f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜2，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜3，
∴f（x）在（0，2）遞增，在（2，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值是f（2）=$\frac{9}{2}$+6ln2，
f（x）的極小值是f（3）=2+6ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，是一道中檔題．