Question

6．已知a，b，x，y均為正數(shù)，a≠b，求證：$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$≥$\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{x+y}$．

Answer 1

分析 先將（$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$）（x+y）=a²+$\frac{y{a}^{2}}{x}+\frac{x^{2}}{y}$+b²=a²+b²+（$\frac{y{a}^{2}}{x}+\frac{x^{2}}{y}$），利用基本不等式a²+b²≥2ab，即可證得結(jié)論．

解答 證明：∵（$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$）（x+y）=a²+$\frac{y{a}^{2}}{x}+\frac{x^{2}}{y}$+b²=a²+b²+（$\frac{y{a}^{2}}{x}+\frac{x^{2}}{y}$）
≥a²+b²+2$\sqrt{\frac{y{a}^{2}}{x}•\frac{x^{2}}{y}}$=a²+b²+2ab=（a+b）²，當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$≥$\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{x+y}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．