定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值，則稱(chēng)之為函數(shù)的長(zhǎng)距；若模存在最小值，則稱(chēng)之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)與是否存在長(zhǎng)距與短距，若存在，請(qǐng)求出;
(2)求證：指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對(duì)于任意是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的短距不小于2，若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；不存在，則說(shuō)明理由？

（1）短距為，長(zhǎng)距不存在，短距為，長(zhǎng)距為5；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

解析試題分析：本題屬于新定義概念，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值和最小值（如有的話）,正面討論時(shí)我們把距離表示為的函數(shù).（1）對(duì)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因此存在短距為，不存在長(zhǎng)距，對(duì)，
，，即有最大值也有最小值，因此短距和長(zhǎng)距都有；（2）對(duì)函數(shù)，，由于，因此短距不大于1，令，則有，故當(dāng)時(shí)，存在使得 ，當(dāng)時(shí)，存在使得 ，即證；（3）記，按題意條件，則有不等式對(duì)恒成立，這類(lèi)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，我們可采取分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，按分別討論，由此可求得的范圍.
（1）設(shè)（當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)）+2分
短距為，長(zhǎng)距不存在。    +4分
（2）設(shè)   +6分
        +8分
短距為，長(zhǎng)距為5。    +9分
（3）設(shè) 函數(shù)的短距不小于2
即對(duì)于始終成立：+10分
當(dāng)時(shí)：對(duì)于始終成立    +12分
當(dāng)時(shí)：取即可知顯然不成立           +13分
當(dāng)時(shí)：對(duì)于始終成立      +15分
綜上     +16分
考點(diǎn)：新定義概念，函數(shù)的最大值與最小值，不等式恒成立問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

函數(shù)．
（1）若在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若，若函數(shù)在 [1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，試證明f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（13分）（2011•湖北）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線l．
（Ⅰ） 求a、b的值，并寫(xiě)出切線l的方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2，其中x1＜x2，且對(duì)任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本題滿分12分）設(shè)A>0，A≠1，函數(shù)有最大值，
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中，為正整數(shù)，，，均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.
（1）求，，的值；     
（2）求函數(shù)的最大值；
（3）證明：對(duì)任意的都有.（為自然對(duì)數(shù)的底）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè),用表示當(dāng)時(shí)的函數(shù)值中整數(shù)值的個(gè)數(shù).
(1)求的表達(dá)式.
(2)設(shè),求.
(3)設(shè),若,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

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