Question

【題目】若關(guān)于x的不等式xex﹣2ax+a＜0的非空解集中無(wú)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[ ， ）
B.[ ， ）
C.[ ，e]
D.[ ，e]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設(shè)g（x）=xex ， f（x）=2ax﹣a， 由題意可得g（x）=xex在直線f（x）=2ax﹣a下方，
g′（x）=（x+1）ex ，
f（x）=2ax﹣a恒過(guò)定點(diǎn)（ ，0），
設(shè)直線與曲線相切于（m，n），
可得2a=（m+1）em ， mem=2am﹣a，
消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1（舍去）或﹣ ，
則切線的斜率為2a=（﹣ +1）e ，
解得a= ，
又由題設(shè)原不等式無(wú)整數(shù)解，
由圖象可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，g（﹣1）=﹣e﹣1 ， f（﹣1）=﹣3a，
由f（﹣1）=g（﹣1），可得a= ，
由直線繞著點(diǎn)（ ，0）旋轉(zhuǎn)，
可得 ≤a＜ ，
故選：B．

設(shè)g（x）=xex ， f（x）=2ax﹣a，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷直線恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相切于（m，n），求得切線的斜率和切點(diǎn)在直線上和曲線上，解方程可得a，再由題意可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，求得a，通過(guò)圖象觀察，即可得到a的范圍．