Question

【題目】已知數(shù)列滿足.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

（2）當時，求數(shù)列的前項和；

（3）若對任意，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由等差數(shù)列的定義，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，結(jié)合，得即可解得首項的值；（2）由，用代得，兩式相減，得出數(shù)列是等差數(shù)列，進一步得到數(shù)列也是等差數(shù)列，下面對進行分類討論：①當n為奇數(shù)時，②當n為偶數(shù)時，分別求和即可；（3）由（2）知的通項公式，①當為奇數(shù)時，②當為偶數(shù)時，分別解得的取值范圍，最后綜上所述，即可得到的取值范圍．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，則＝＋(n－1)d，＝＋nd．

由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3，解得d＝2，＝．

（2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．

兩式相減，得－＝4．

所以數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列．

數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列．

由＋＝1，＝2，得＝－1．

所以．

①當n為奇數(shù)時，＝2n，＝2n－3．

＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋

＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．

②當n為偶數(shù)時，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝．

所以．

（3）由（2）知，．

①當n為奇數(shù)時，＝2n－2＋，＝2n－1－．

由≥5，得－≥＋16n－10．

令＝＋16n－10＝＋6．

當n＝1或n＝3時，＝2，所以－≥2．

解得≥2或≤－1．

②當n為偶數(shù)時，＝2n－3－，＝2n＋．

由≥5，得＋≥＋16n－12．

令＝＋16n－12＝＋4．

當n＝2時，＝4，所以＋≥4．

解得≥1或≤－4．

綜上所述，的取值范圍是．