Question

20．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁：x²+y²=1
（1）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．
（2）若曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）將直線與曲線的方程聯(lián)立后求出t的值，由t的幾何意義求出|AB|的值；
（2）由題意求出曲線C₂的參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)P的參數(shù)形式坐標(biāo)，將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)P到直線l的距離，利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)后，由余弦函數(shù)的最值求出答案．

解答 解：（1）將直線與曲線的方程聯(lián)立得：t²+t=0
解得t₁=-1或t₂=0，
 由t的幾何意義知：|AB|=|t₁-t₂|=1；
（2）由題意知，曲線C₂的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），
則設(shè)P（$\frac{1}{2}cosθ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$），
因?yàn)橹本�l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
所以消去t得直線$l：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
則點(diǎn)P到直線l的距離：d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$ 
=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}|}{2}$，
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{4}）=1$時(shí)，d取最小值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，利用參數(shù)的幾何意義求弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離公式，以及兩角和的余弦公式和余弦函數(shù)，考查化簡(jiǎn)、變形能力．