Question

定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＞f（x），f（0）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A、（-∞，6）
• B、（6，+∞）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，
即g（x）在R上單調(diào)遞增，
∵f（0）=1，∴g（0）=

f(0)

e0

=1，
則不等式f（x）＜e^x，等價為g（x）=

f(x)

ex

＜1，
即g（x）＜g（0），
則x＜0，
即不等式的解集為（-∞，0），
故選：D

點評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 是解決本題的關(guān)鍵．