Question

11．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在該橢圓上，則使得△F₁F₂P是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是6．

Answer 1

分析 如圖所示，①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，此時(shí)有2個(gè)．
②當(dāng)△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時(shí)，共有4個(gè)．

解答 解：如圖所示，
①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，
△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，
此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P；
②當(dāng)△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時(shí)，共有4個(gè)．
以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴點(diǎn)P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上
因此，當(dāng)以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，
存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P．
同理可得：當(dāng)以F₂為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P．
綜上可得：滿足條件的使得△F₁F₂P是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、等腰三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．