Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB=45°，BC=2$\sqrt{2}$，AB=2．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）若PC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MP}$，當(dāng)λ為何值時(shí)，二面角B-AC-M的大小為30°．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用余弦定理，利能求出AC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACM的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B-AC-M的大小為30°．

解答 解：：（1）在△ABC中，
由余弦定理得AB²=BC²+AC²-2BC×AC×cos∠ACB，
得4=8+AC²+-4AC，解得AC=2．
（2）∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且$\overrightarrow{BM}$=$λ\overrightarrow{MP}$，
∴M（$\frac{2}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}λ}{1+λ}$），
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=2x+2λy+\frac{2\sqrt{3}}{3}λz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}λ$，0，1），
平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角B-AC-M的大小為30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}{λ}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=1或λ=-1（舍），
∴當(dāng)λ=1時(shí)，二面角B-AC-M的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．