Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x²-2y²=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，∠F₁PF₂=120°，則${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

Answer 1

分析 由題意可得F₁ （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），F(xiàn)₂（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°，求得△F₁PF₂的面積即為所求

解答 解：由題意可得雙曲線C：x²-2y²=1，a=1，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
得F₁ （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），F(xiàn)₂（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
又F₁F₂²=6，|PF₁-PF₂|=2，
由余弦定理可得：
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=（PF₁-PF₂）²+3PF₁•PF₂=4+3PF₁•PF₂=6，
∴PF₁•PF₂=$\frac{2}{3}$
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出PF₁•PF₂的值，是解題的關(guān)鍵．