Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)數(shù)列滿足,是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。
(3) 令,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,其中,證明：。

Answer 1

（1）  （2）存在且， 

試題分析：
（1）利用十字相乘法分解，得到關(guān)于的遞推式，證得數(shù)學(xué)為等比數(shù)列且可以知道公比，則把公比帶入式子就可以求出首項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式.
（2）由第一問可得的通項(xiàng)公式帶入可的通項(xiàng)公式，結(jié)合成等比數(shù)列，滿足等比中項(xiàng)，得到關(guān)于m,n的等式，借助m,n都為正整數(shù)，利用等式兩邊的范圍求出n,m的范圍等到m,n的值.
（3）由（1）得，帶入得到，由于要得到錢n項(xiàng)和，故考慮把進(jìn)行分離得到 ，進(jìn)而利用分組求和和裂項(xiàng)求和求的，觀察的單調(diào)性，可得到與都關(guān)于n單調(diào)遞減，進(jìn)而得到關(guān)于n是單調(diào)遞增的，則有，再根據(jù)的非負(fù)性，即可得到，進(jìn)而證明原式.
試題解析：
(1) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035512996727.png" style="vertical-align:middle;" />,即  1分
又,所以有,即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列. 2分
由得,解得。  3分
從而，數(shù)列的通項(xiàng)公式為。  4分
(2)=，若成等比數(shù)列，則，  5分
即．由，可得，  6分
所以，解得：。  7分
又，且，所以，此時(shí)．   
故當(dāng)且僅當(dāng)，.使得成等比數(shù)列。  8分
(3)
   10分
∴
   12分
易知遞減，∴0＜  13分
∴，即  14分