Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，a+1]上的最大值為f（a+1），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=2時，求出f'（x），解f'（x）＞0可得增區(qū)間，解f'（x）＜0可得減區(qū)間；
（2）令f'（x）=0可得x=1或x=a，按照a=1，0＜a＜1，a＞1三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，使其最大值為f（a+1）即可；

解答： 解：f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
（1）當(dāng)a=2時，f′（x）=6（x-1）（x-a）=6（x-1）（x-2），
當(dāng)x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間分別為（-∞，1），（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
（2）（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f′（x）=6（x-1）²≥0，f（x）在[0，a+1]上單調(diào)遞增，最大值為f（a+1）；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，1+a）	a+1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增	極大值f（a）	減		增

由表知f（x）在[0，a+1]上的最大值，只有可能是f（a）或 f（a+1），
∴只需f（a+1）-f（a）=（-a³+3a²+3a-1）-（-a³+3a²）=3a-1≥0，
解得a≥

1

3

，此時

1

3

≤a＜1；
（Ⅲ）當(dāng)a＞1時，列表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，1+a）	a+1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增	極大值f（1）	減		增

由表知f（x）在[0，a+1]上的最大值，只有可能是f（1）或 f（a+1）
∴只需f（a+1）-f（1）=（-a³+3a²+3a-1）-（3a-1）=-a ³+3a²=-a²（a-3）≥0，
解得a≤3，此時1＜a≤3．
由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得

1

3

≤a≤3，
∴滿足條件的a的取值范圍是[

1

3

，3]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．