Question

3．已知a²+4b²=1，則2a²+4ab的最大值為$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 利用換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解．

解答 解：∵a²+4b²=1，
設(shè)a=cosθ，b=$\frac{1}{2}$sinθ，θ∈（0，π）
則2a²+4ab=2cos²θ+4cosθ×$\frac{1}{2}$sinθ=1+cos2θ+sin2θ=1+$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$），
∵sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的最大值為1，
∴2a²+4ab=1+$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的最大值為：1+$\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了靈活解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．