【題目】已知四邊形ABCD為矩形,AB=2AD=4,MAB的中點(diǎn),將△ADM沿DM折起,得到四棱錐A1DMBC,設(shè)A1C的中點(diǎn)為N,在翻折過(guò)程中,得到如下有三個(gè)命題:BN∥平面A1DM;②三棱錐NDMC的最大體積為;③在翻折過(guò)程中,存在某個(gè)位置,使得DMA1C.其中正確命題的序號(hào)為_____.

【答案】①②

【解析】

分別延長(zhǎng)DMCB交于H,連接A1H,可證BCH的中點(diǎn),因此有BNA1H,可得①為正確;要使三棱錐NDMC的體積最大,只需N到平面DMBC的距離最大,當(dāng)平面A1DM⊥平面DMBC時(shí)滿足,可求得此時(shí)體積為,②正確;DM=CM=2,CD=4,

可得DMMC,若DMA1C,可證DMA1M,與已知DM為斜邊矛盾,③錯(cuò)誤.

對(duì)于①,分別延長(zhǎng)DM,CB交于H,連接A1H,如圖所示;

由已知得,可得BCH的中點(diǎn),

可得BN為△A1CH的中位線,可得BNA1H,

BN平面A1DM,A1H平面A1DM,

可得BN∥平面A1DM∴①正確;

對(duì)于②,當(dāng)平面A1DM⊥平面DMBC時(shí),

A1到平面DMBC的距離最大,且為,

此時(shí)N到平面DMBC的距離最大,且為

DMC的面積為2×4=4

可得三棱錐NDMC的最大體積為4,

∴②正確;

對(duì)于③,若DMA1C,又DM=CM=2,CD=4,

可得DMMC,則DM⊥平面A1CM,即有DMA1M,

這與DM為斜邊矛盾,∴③錯(cuò)誤;

綜上,以上正確命題的序號(hào)為①②.

故答案為:①②.

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