已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M.
(1) 求證:A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(2) 設(shè)直線MF交該拋物線于C、D兩點(diǎn),求四邊形ACBD面積的最小值.
(1) 證明:由已知,得F(0,1),顯然直線AB的斜率存在且不為0,
則可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得x2-4kx-4=0,顯然Δ=16k2+16>0.
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
由x2=4y,得y=x2,所以y′=x, 所以,直線AM的斜率為kAM=x1,
所以,直線AM的方程為y-y1=x1(x-x1),又x=4y1,
所以,直線AM的方程為x1x=2(y+y1)�、伲�
同理,直線BM的方程為x2x=2(y+y2) ②,
②-①并據(jù)x1≠x2得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=,
即A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
(2) 解:由①②易得y=-1,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,-1)(k≠0).
所以kMF==-, 則直線MF的方程為y=-x+1,
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)
由消去y,得x2+x-4=0,顯然Δ=+16>0,
所以x3+x4=-,x3x4=-4,
=
因為kMF·kAB=-1,所以AB⊥CD ,
所以SACBD=|AB|·|CD|=8≥32,
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時,四邊形ACBD面積取到最小值32.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(4m,0)(m>0,m為常數(shù)),離心率等于0.8,過焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn).
(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 若θ=90°,=,求實(shí)數(shù)m;
(3) 試問的值是否與θ的大小無關(guān),并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知拋物線y2=2px(p≠0)及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是拋物線上的點(diǎn).設(shè)直線AM、BM與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為M1、M2,當(dāng)M變動時,直線M1M2恒過一個定點(diǎn),此定點(diǎn)坐標(biāo)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知Rt△AOB的三個頂點(diǎn)都在拋物線y2=2px上,其中直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在直線的方程為y=x,△AOB的面積為6,求該拋物線的方程.
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