精英家教網如圖,以原點O為頂點,以y軸為對稱軸的拋物線E的焦點為F(0,1),點M是直線l:y=m(m<0)上任意一點,過點M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點S,T,切點分別為B,A.
(I)求拋物線E的方程;
(Ⅱ)求證:點S,T在以FM為直徑的圓上;
(Ⅲ)當點M在直線l上移動時,直線AB恒過焦點F,求m的值.
分析:(1)設拋物線方程為x2=2py,根據焦點坐標可得到
p
2
=1
,進而得到p的值,從而確定拋物線的方程.
(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2),然后對拋物線方程進行求導,表示出切線AM的斜率進而得到切線方程,然后令y=0可求出T的坐標進而得到直線FT的斜率,根據kAM•kFT=-1可驗證點T在以FM為直徑的圓上;同理可證點S在以FM為直徑的圓上.
(3)根據拋物線的焦點坐標,設斜率為k可得到直線AB的方程,然后與拋物線方程聯(lián)立消去y,得到關于x的一元二次方程,進而可得到兩根之積等于-4,設點M(x0,m),切線AM、BM的方程過點M可得到可消去x0,再由x1x2=-4可得m的值.
解答:精英家教網解:(I)設拋物線E的方程為x2=2py(p>0),
依題意
p
2
=1,解得p=2

所以拋物線E的方程為x2=4y.
(Ⅱ)設點A(x1,y1),B(x2,y2).x1x2≠0,否則切線不過點M
y=
1
4
x2,y′=
1
2
x
,∴切線AM的斜率kAM=
1
2
x1
,
方程為y-y1=
1
2
x1(x-x1)
,其中y1=
x
2
1
4
.

令y=0,得x=
1
2
x1
,點T的坐標為(
1
2
x1,0)
,
∴直線FT的斜率kFT=-
2
x1
,
kAMkFT=
1
2
x1•(-
2
x1
)=-1
,
∴AM⊥FT,即點T在以FM為直徑的圓上;
同理可證點S在以FM為直徑的圓上,
所以S,T在以FM為直徑的圓上.
(Ⅲ)拋物線x2=4y焦點F(0,1),可設直線AB:y=kx+1.
y=
1
4
x2
y=kx+1
x2-4kx-4=0
,
則x1x2=-4.
由(Ⅱ)切線AM的方程為y=
1
2
x1x-
1
4
x
2
1
過點M(x0,m),
m=
1
2
x1x0-
1
4
x
2
1

同理m=
1
2
x2x0-
1
4
x
2
2
.

消去x0,得m(x1-x2)=
1
4
x1x2(x1-x2)

∵x1≠x2,由上x1x2=-4
m=
1
4
x1x2=-1
,即m的值為-1.
點評:本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的聯(lián)立問題.圓錐曲線經常作為壓軸題出現(xiàn),基礎知識一定要熟練掌握才能做正確.
練習冊系列答案
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(1)求拋物線E的方程;
(2)求證:點S,T在以FM為直徑的圓上;
(3)當點M在直線上移動時,直線AB恒過焦點F,求的值。

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