Question

【題目】如圖，在四面體P﹣ABCD中，△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= ．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）已知E是PA上一點(diǎn)，且BE∥平面PCD．若PC=2，求點(diǎn)E到平面ABCD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC交BD于O，

∵PC⊥BP，BP∩CP=P，

∴PC⊥AB，

∵AB⊥BP，BP∩CP=P，

∴AB⊥平面PBC，

∴AB⊥BC，

∵BC= ，

∴tan∠BAC= ，即∠BAC=30°，

∵∠ABD=60°，

∴∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∵PC⊥BD，

∴BD⊥平面ACP，

∵AP平面APC，

∴PA⊥BD

（2）解：取AD的中點(diǎn)F，連接BF，EF，

當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD，證明如下，

∵AB=BD，

∴BF⊥AD，

有（1）的BC=CD，則CD⊥AD，

∴EF∥CD，

∵E為PA的中點(diǎn)，

∴EF∥PD，

∴平面BEF∥平面PCD，

∵BE平面BEF，

∴BE∥平面PCD，

∵PC⊥底面ABCD，

∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于 PC=1

【解析】（1）連接AC交BD于O，利用線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直，即可證明PA⊥BD；（2）當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD，并證明，并得到點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于 PC，問(wèn)題得以解決．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)才能正確解答此題．