Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxsin（x+

π

6

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）運用兩角和差公式和二倍角公式，化簡整理，再由周期公式和正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，即可得到；
（2）由x的范圍，可得2x-

π

3

的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質，即可得到值域．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxsin（x+

π

6

）
=2sinx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=

3

sin²x+sinxcosx
=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x=

3

2

+sin（2x-

π

3

）
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
則f（x）的值域為[0，1+

3

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的單調性和值域，考查運算能力，屬于基礎題．