Question

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）；（2）相切

試題分析：（1）由橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率，即可求出的值.即可得到結(jié)論.
（2）依題意假設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，以及點(diǎn)R的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，C，R三點(diǎn)共線即可求得點(diǎn)R的坐標(biāo)表示.從而表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，寫出直線CD的方程，再計(jì)算圓心到該直線的距離，再根據(jù)點(diǎn)C在圓上，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.
（1）由題意可得，，  ∴．     2分
∴，                       3分
所以橢圓的方程為．                      4分
（2）解法一：曲線是以為圓心，半徑為2的圓.
設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，       5分
∵三點(diǎn)共線，   ∴，       6分
而，，則，
∴，                               7分
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，      8分
∴直線的斜率為，
而，∴，
∴，                                     10分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，       11分
所以直線與曲線相切．                      12分
解法二：同解法一得，          10分
又，故，即，
所以直線與圓相切．                      12分