Question

【題目】已知橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，， 離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）作一條垂直于軸的直線，使之與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，在第四象限相交于點(diǎn)，若直線與直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用已知條件，求得，再由，求得的值，即可求解；

（2）設(shè)，其中，，可得，求得直線的方程，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線斜率，結(jié)合橢圓的范圍，即可求解斜率的取值范圍.

（1）由題意知，橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，可得，

又由，即，可得，

又因?yàn)?/span>，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，其中，，可得，

由斜率公式，可得，，

所以直線的方程為；直線的方程為，

聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)，

所以，即，

又由，

令，，則

所以，

因?yàn)?/span>，所以，則，

所以，即實(shí)數(shù)直線的斜率的取值范圍.