Question

9．在△ABC中，若$\overrightarrow{AC}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，則△ABC是（　�。�

• A． 等邊三角形
• B． 銳角三角形
• C． 鈍角三角形
• D． 直角三角形

Answer 1

分析 根據(jù)條件進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及根據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義便可得出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}=0$，這樣便可得出三角形ABC的形狀．

解答 解：${\overrightarrow{AC}}^{2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}=0$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}=0$；
即BC⊥AB；
∴△ABC為直角三角形．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件．