Question

10．設(shè)變量x，y滿足約束條件：$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤3}\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)且ax+y=z的最小值為$\frac{1}{2}$時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\left\{{-\frac{1}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最小值建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
∵目標(biāo)函數(shù)且ax+y=z的最小值為$\frac{1}{2}$，
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)為ax+y=$\frac{1}{2}$，
即y=-ax+$\frac{1}{2}$，則此時(shí)直線過定點(diǎn)D（0，$\frac{1}{2}$），
由ax+y=z得y=-ax+z，
則當(dāng)直線截距最小時(shí)，z最小，
則等價(jià)為可行域都在直線y=-ax+$\frac{1}{2}$的上方，
由圖象知當(dāng)直線y=-ax+$\frac{1}{2}$經(jīng)過A時(shí)，滿足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），
此時(shí)-2a+$\frac{1}{2}$=1，即2a=-$\frac{1}{2}$，
則a=-$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\left\{{-\frac{1}{4}}\right\}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．