Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E是棱PD的中點，點F是PC的中點F
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若ABCD為正方形，探究在什么條件下，二面角C-AF-D大小為60°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，則PB∥EO，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）由題意知AD，AB，AP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出當(dāng)AP等于正方形ABCD的邊長時，二面角C-AF-D的大小為60°．

解答 證明：（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴O是BD的中點，
∵點E是棱PD的中點，
∴PB∥EO，
又PB?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）由題意知AD，AB，AP兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=2a，AD=2b，AP=2c，
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）．
設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，則O（a，b，0），E（0，b，c）．
因為$\overrightarrow{PB}=（2a\;，\;0\;，\;-2c）$，$\overrightarrow{EO}=（a\;，\;0\;，\;-c）$
所以$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{EO}$，所以$\overrightarrow{PB}$∥$\overrightarrow{EO}$，a=b，A（0，0，0），B（2a，0，0），
C（2a，2a，0），D（0，2a，0），P（0，0，2c），E（0，a，c），F(xiàn)（a，a，c），
因為z軸?平面CAF，所以設(shè)平面CAF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，1，0），
而$\overrightarrow{AC}=（2a\;，\;2a\;，\;0）$，所以$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$=2ax+2a=0，得x=-1，所以$\overrightarrow{n}$=（-1，1，0）．
因為y軸?平面DAF，所以設(shè)平面DAF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，z），
而$\overrightarrow{AF}=（a\;，\;a\;，\;c）$，所以$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}$=a+cz=0，得$z=-\frac{a}{c}$，
所以$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\frac{a}{c}$）∥$\overrightarrow{{m}^{'}}$=（c，0，-a）．
cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{m}^{'}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{m}^{'}}|}$=$\frac{c}{\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）}}=\frac{1}{2}$，得a=c．
即當(dāng)AP等于正方形ABCD的邊長時，二面角C-AF-D的大小為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．