Question

1．已知函數(shù)y=f（x）（x＞0）滿足：f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＞0，且$f（{\frac{1}{2}}）=1$；
（1）證明：y=f（x）是定義域上的減函數(shù)；
（2）解不等式$f（{x-3}）＞f（{\frac{1}{x}}）-2$．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用單調(diào)性的定義證明，注意取值，作差，變形和運(yùn)用已知條件，定符號(hào)，下結(jié)論；
（2）由$f（{\frac{1}{2}}）=1$，可得f（$\frac{1}{4}$）=2，原不等式即為即$f（{x-3}）+f（{\frac{1}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，即有$f（{\frac{x-3}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，由y=f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，可得0＜$\frac{x-3}{4}＜\frac{1}{x}$，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則$0＜\frac{x_1}{x_2}＜1$，
由題意當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＞0，
可得$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{\frac{x_1}{x_2}•{x_2}}）-f（{x_2}）=f（{\frac{x_1}{x_2}}）+f（{x_2}）-f（{x_2}）=f（{\frac{x_1}{x_2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以y=f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（2）由$f（{\frac{1}{2}}）=1$，則$f（{\frac{1}{4}}）=f（{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}）=f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{2}}）=1+1=2$，
由$f（{x-3}）＞f（{\frac{1}{x}}）-2$得$f（{x-3}）+2＞f（{\frac{1}{x}}）$，
即$f（{x-3}）+f（{\frac{1}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，即有$f（{\frac{x-3}{4}}）＞f（{\frac{1}{x}}）$，
由y=f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，
得0＜$\frac{x-3}{4}＜\frac{1}{x}$，解得3＜x＜4．
則原不等式的解集為（3，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和應(yīng)用，考查賦值法和分式不等式的解法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．