【題目】已知函數(shù).
(1)當時,如果函數(shù)僅有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,試比較與1的大小;
(3)求證:
【答案】(1)的取值范圍是或;(2)①當時,,即;
②當時,,即;③當時,,即;(3)證明過程詳見解析.
【解析】試題分析:本題考查函數(shù)與導數(shù)、導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學知識和方法,考查綜合運用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題的能力,考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問,先將代入得到解析式,因為僅有一個零點,所以和僅有一個交點,所以關(guān)鍵是的圖像,對求導,令和判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的極值和最值所在位置,求出具體的數(shù)值,便可以描繪出函數(shù)圖像,來決定的位置;第二問,先將代入,得到解析式,作差法比較大小,得到新函數(shù),判斷的正負即可,通過對求導,可以看出在上是增函數(shù)且,所以分情況會出現(xiàn)3種大小關(guān)系;第三問,法一:利用第二問的結(jié)論,得到表達式,再利用不等式的性質(zhì)得到所證表達式的右邊,左邊是利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡,得證;法二,用數(shù)學歸納法證明,先證明當時不等式成立,再假設(shè)當時不等式成立,然后利用假設(shè)的結(jié)論證明當時不等式成立即可.
試題解析:(1)當時,,定義域是,
,令,得或.
∵當或時,,當時,,
∴的極大值是,極小值是.
∵當時,,當時,,
當僅有一個零點時,的取值范圍是或. 4分
(2)當時,,定義域為.
令,
,
在上是增函數(shù).
①當時,,即;
②當時,,即;
③當時,,即. 8分
(3)(法一)根據(jù)(2)的結(jié)論,當時,,即.
令,則有,
.,
. 12分
(法二)當時,.
,,即時命題成立.
設(shè)當時,命題成立,即.
時, .
根據(jù)(2)的結(jié)論,當時,,即.
令,則有,
則有,即時命題也成立.
因此,由數(shù)學歸納法可知不等式成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取…取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時即終止,每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
(1)求袋中原有白球的個數(shù);
(2)求取球兩次終止的概率
(3)求甲取到白球的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | |||||||
頻數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | ||||||
頻數(shù) | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:
(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知點的直角坐標為,曲線的極坐標方程為,直線過點且與曲線相交于,兩點.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)若,求直線的直角坐標方程.
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【題目】我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中,已知第行的所有數(shù)字之和為,若去除所有為1的項,依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……,則此數(shù)列的前56項和為( )
A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線x2=2py(p>0)上的點M(m,1)到焦點F的距離為2,
(1)求拋物線的方程;
(2)如圖,點E是拋物線上異于原點的點,拋物線在點E處的切線與x軸相交于點P,直線PF與拋物線相交于A,B兩點,求△EAB面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小陳同學進行三次定點投籃測試,已知第一次投籃命中的概率為,第二次投籃命中的概率為,前兩次投籃是否命中相互之間沒有影響.第三次投籃受到前兩次結(jié)果的影響,如果前兩次投籃至少命中一次,則第三次投籃命中的概率為,否則為.
(1)求小陳同學三次投籃至少命中一次的概率;
(2)記小陳同學三次投籃命中的次數(shù)為隨機變量,求的概率分布及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高.據(jù)測量,被測學生身高全部介于到之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組;第二組;…;第八組.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)估計這所學校高三年級全體男生身高在以上(含)的人數(shù);
(2)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖;
(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩人,記他們的身高分別為,求滿足“”的事件的概率.
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