Question

設(shè)項數(shù)均為（）的數(shù)列、、前項的和分別為、、.已知集合=.

（1）已知，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，試研究和時是否存在符合條件的數(shù)列對（，），并說明理由；

（3）若，對于固定的，求證：符合條件的數(shù)列對（，）有偶數(shù)對.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）時，數(shù)列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時，數(shù)列對（，）不存在.（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）這實質(zhì)是已知數(shù)列的前項和，要求通項公式的問題，利用關(guān)系來解決；（2）時，可求出，再利用

=，可找到數(shù)列對（，）（注意結(jié)果不唯一），當(dāng)時，由于，即，可以想象，若存在，則應(yīng)該很大（體現(xiàn)在），研究發(fā)現(xiàn)（具體證明可利用二項展開式，

，注意到，展開式中至少有7項，故，下面證明這個式子大于，應(yīng)該很好證明了），這不符合題意，故不存在；（3）可通過構(gòu)造法說明滿足題意和數(shù)列對是成對出現(xiàn)的，即對于數(shù)列對（，），構(gòu)造新數(shù)列對，（），則數(shù)列對（，）也滿足題意，（要說明的是及=且數(shù)列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數(shù)，矛盾）．

試題解析：（1）時，

時，，不適合該式

故，                        4分

（2），

時，

                 6分

當(dāng)時，，，，

=

數(shù)列、可以為（不唯一）：

6,12,16,14；2,8,10,4     ②  16,10,8,14；12,6,2,4            8分

當(dāng)時，

此時不存在.故數(shù)列對（，）不存在.                 10分

另證：

當(dāng)時，

（3）令，（）         12分

又=，得

=

所以，數(shù)列對（，）與（，）成對出現(xiàn)。         16分

假設(shè)數(shù)列與相同，則由及，得，，均為奇數(shù)，矛盾！

故，符合條件的數(shù)列對（，）有偶數(shù)對。                18分

考點(diǎn)：（1）數(shù)列的前項和與的關(guān)系；（2）觀察法，二項展開式證明不等式；（3）構(gòu)造法．