Question

設(shè)f（x）=2x+1，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*．若f_n（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（a_n，1）則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f（x）=2x+1，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*．可得f₁（x）=2x+1，2a₁+1=1，解得a₁=0，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）；同理可得f₂（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-

1

2

，1）；f₃（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-

3

4

，1）；…，猜想a_n=-

2n-2

2n

=2^1-n-1．

解答： 解：∵f（x）=2x+1，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*．
∴f₁（x）=2x+1，2a₁+1=1，解得a₁=0，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）；
f₂（x）=f（f₁（x））=2（2x+1）+1=4x+3，由4a₂+3=1，解得a2=-

1

2

，圖象經(jīng)過點(diǎn)（-

1

2

，1）；
f₃（x）=f（f₂（x））=2（4x+3）+1=8x+7，由8a₃+7=1，解得a₃=-

3

4

，圖象經(jīng)過點(diǎn)（-

3

4

，1）；
…，
∴a₁=0=-

2-2

2

，a₂=-

2

4

=-

22-2

22

，a₃=-

6

8

=-

23-2

23

，…，
可得a_n=-

2n-2

2n

=2^1-n-1．
故答案為：2^1-n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“由特殊到一般的推理”方法，考查了觀察分析猜想歸納的方法，屬于中檔題．