Question

已知A，B為橢圓的左右兩個頂點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，P為橢圓上異于A、B點的任意一點，直線AP、BP分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點，則△MFN面積的最小值是

1. A.
   8
2. B.
   9
3. C.
   11
4. D.
   12

Answer 1

B
分析：先設(shè)P（s，t），由題設(shè)條件得兩直線PA，PB的方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，解出M，N兩點的坐標(biāo)，用s，t表示出線段MN的長度，再由點P在橢圓上，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，用s表示出t，消去t，得到線段MN的長關(guān)于s的函數(shù)，又點F到準(zhǔn)線的距離是3，由此MFN面積可表示為s的函數(shù)，由其形式知，可用判別式法求最小值
解答：設(shè)P（s，t），由題意直線PA的方程為，即，直線PB的方程為
由于橢圓故a=2，b=，c=1，故其右準(zhǔn)線方程為x==4，F(xiàn)（1，0），故F到準(zhǔn)線的距離是3
∵直線AP、BP分別交橢圓的右準(zhǔn)線于M、N點
∴M（4，），N（4，）
故有|MN|=|-|=||
∴S²=×|MN|²×9=×||①
又P（s，t）在橢圓上，故有 代入①整理得S²=27×
令M=得（M²+1）s²-8s+16-4M²=0，此方程恒有根
故△=64-4（M²+1）（16-4M²）≥0
解得M²≥3，故M≥或M≤-（舍）
∴S²=27×≥27×3
∴S≥9
故選B．
點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．解題的關(guān)鍵是根據(jù)意建立起面積關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)，掌握用判別式法求值域也是本題的一個難點，解題時運算技巧很重要．本題運算量很大，要嚴(yán)謹(jǐn)，避免因運算失誤導(dǎo)致解題失敗．