【題目】是邊長為的等邊三角形,E、F分別為AB、AC的中點,,沿EF把折起,使點A翻折到點P的位置,連接PB、PC,則四棱錐的外接球的表面積的最小值為________,此時四棱錐的體積為________.
【答案】
【解析】
根據(jù)題意,當(dāng)梯形BCEF的外接圓的圓心為四棱錐的外接球的球心時,外接球的半徑最小,易得BC的中點即為梯形的外接圓圓心,也即為四棱錐的球心,進而求解.
如圖所示:
四邊形BCEF為梯形,則必有外接圓,設(shè)O為梯形BCEF的外接圓的圓心,即為外接球的球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過A作BC的垂線交BC于點M,交EF于點N,連接PM,PN,點O必在AM上,
因為E,F,分別為中點,
所以,
所以,即是直角三角形,
因為是邊長為的等邊三角形,E、F分別為AB、AC的中點,
所以,
所以點M為為梯形BCEF的外接圓的圓心,即點O與點M重合,
所以,,
所以四棱錐的高為:,
所以棱錐的外接球的表面積的最小值為,
此時四棱錐的體積為.
故答案為:(1). (2).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識大賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié).已知共有8000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本,得到如下頻率分布直方圖.
(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良,若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人,求恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率;
(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替),且σ2=362.利用該正態(tài)分布,估計全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù);
(3)預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人的復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n,每一題都需要“花”掉(即減去)一定分數(shù)來獲取答題資格,規(guī)定答第k題時“花”掉的分數(shù)為0.1k(k∈(1,2n));③每答對一題加1.5分,答錯既不加分也不減分;④答完n題后參賽學(xué)生的最終分數(shù)即為復(fù)賽成績.已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.7,且每題答對與否都相互獨立.若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績,則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?
(參考數(shù)據(jù):;若Z~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9973.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2a=2bcosC+csinB.
(Ⅰ)求tanB;
(Ⅱ)若C,△ABC的面積為6,求BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為D,若存在實常數(shù)及,對任意,當(dāng)且時,都有成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(1)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)若函數(shù)具有性質(zhì),求及應(yīng)滿足的條件;
(3)已知函數(shù)不存在零點,當(dāng)時具有性質(zhì)(其中,),記,求證:數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面, ,分別是的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)討論在上的單調(diào)性.
(2)當(dāng)時,若在上的最大值為,討論:函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=時,求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果函數(shù)g(x),f1(x),f2(x),在公共定義域D上,滿足f1(x)<g(x)<f2(x),那么就稱g(x)為f1(x),f2(x)的“活動函數(shù)”.已知函數(shù). 。若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)是f1(x),f2(x)的“活動函數(shù)”,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.
(1)證明:平面.
(2)若,當(dāng)三棱錐的體積最大時,求到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形中,,,,E,F分別為,邊的中點.現(xiàn)將沿著折疊到的位置,使得平面平面.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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