【題目】是邊長為的等邊三角形,E、F分別為AB、AC的中點,,沿EF折起,使點A翻折到點P的位置,連接PB、PC,則四棱錐的外接球的表面積的最小值為________,此時四棱錐的體積為________.

【答案】

【解析】

根據(jù)題意,當(dāng)梯形BCEF的外接圓的圓心為四棱錐的外接球的球心時,外接球的半徑最小,易得BC的中點即為梯形的外接圓圓心,也即為四棱錐的球心,進而求解.

如圖所示:

四邊形BCEF為梯形,則必有外接圓,設(shè)O為梯形BCEF的外接圓的圓心,即為外接球的球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過ABC的垂線交BC于點M,交EF于點N,連接PM,PN,點O必在AM上,

因為EF,分別為中點,

所以,

所以,即是直角三角形,

因為是邊長為的等邊三角形,E、F分別為AB、AC的中點,

所以,

所以點M為為梯形BCEF的外接圓的圓心,即點O與點M重合,

所以,

所以四棱錐的高為:,

所以棱錐的外接球的表面積的最小值為,

此時四棱錐的體積為.

故答案為:(1). (2).

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1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良,若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人,求恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率;

2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布Nμ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替),且σ2362.利用該正態(tài)分布,估計全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù);

3)預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人的復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n,每一題都需要掉(即減去)一定分數(shù)來獲取答題資格,規(guī)定答第k題時掉的分數(shù)為0.1kk∈(1,2n));③每答對一題加1.5分,答錯既不加分也不減分;④答完n題后參賽學(xué)生的最終分數(shù)即為復(fù)賽成績.已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.7,且每題答對與否都相互獨立.若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績,則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?

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