Question

為響應(yīng)中央“文化強(qiáng)國”號(hào)召，某市2013年計(jì)劃投入600萬元加強(qiáng)民族文化基礎(chǔ)設(shè)施改造，根據(jù)估算，改造后該市在一個(gè)月內(nèi)（以30天記），民族文化旅游人數(shù)f（x）（萬人）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f（x）=4+

4

x

，人均消費(fèi)g（x）元與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足g（x）=104-|x-23|．
（1）求該市旅游日收益p（x）（萬元）與時(shí)間x（1≤x≤30，x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若以最低日收益的15%作為每天的純收入，該市對純收入按1.5%的稅率來收回投資，則按此預(yù)計(jì)兩年內(nèi)能否收回全部投資？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)該城市的旅游日收益=日旅游人數(shù)×人均消費(fèi)的錢數(shù)得旅游日收益p（x）（萬元）與時(shí)間x（1≤x≤30，x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別研究每一段函數(shù)的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函數(shù)的單調(diào)性研究最小值，再比較從而得到日最低收入，最后根據(jù)題意可判斷該村在兩年內(nèi)能否收回全部投資成本．

解答： 解：（1）根據(jù)該城市的旅游日收益=日旅游人數(shù)×人均消費(fèi)的錢數(shù)得
p(x)=f(x)g(x)=(4+

4

x

)(104-|x-23|)，1≤x≤30，x∈N*…5分
（2）P(x)=

(4+ 4 x )(81+x)=4(82+x+ 81 x )(1≤x≤23，x∈N*) (4+ 4 x )(127-x)=4(126+ 127 x -x)(23＜x≤30，x∈N*)

…8分
①當(dāng)1≤x≤23，x∈N^*時(shí)，
p（x）=4（x+

81

x

）+328≥400（當(dāng)且僅當(dāng)x=9時(shí)，等號(hào)成立）
即x=9，p（x）≥400； 
②當(dāng)23＜x≤30，x∈N^*時(shí)，函數(shù)在（23，30]上單調(diào)遞減…9分
所以x=30，p(x)≥400

14

15

＞400，…12分
所以x=9時(shí)p（x）取得最小值400，
則兩年內(nèi)的稅收為400×15%×30×12×2×1.5%=648＞600，
兩年內(nèi)能收回全部投資．                                     …13分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．