【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對m,n∈R,恒有f(mn)=f(mf(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且當(dāng)x>0時,0<f(x)<1.

(1)求證f(0)=1;

(2)求證x∈R時,恒有f(x)>0;

(3)求證f(x)在R上是減函數(shù).

【答案】(1)根據(jù)題意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),

因?yàn)?/span>f(n)≠0,所以f(0)=1.

(2)由題意知x>0時,0<f(x)<1,當(dāng)x=0時,f(0)=1>0,當(dāng)x<0時,-x>0,所以0<f(-x)<1.因?yàn)?/span>f[x+(-x)]=f(xf(-x),所以f(xf(-x)=1,

所以f(x)=>0.xR時,恒有f(x)>0.

(3)設(shè)x1,x2R,且x1x2,則f(x2)=f[x1+(x2x1)],

所以f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2x1)]-f(x1)=f(x1f(x2x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2x1)-1].由(2)f(x1)>0,又x2x1>0,所以0<f(x2x1)<1,

f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)R上是減函數(shù).

【解析】

(1)對函數(shù)進(jìn)行賦值,即可證得結(jié)論;

(2)由于已知部分定義域內(nèi)函數(shù)值的范圍,故分區(qū)間討論,結(jié)合已知等式,將其他區(qū)間內(nèi)的范圍與已知函數(shù)值結(jié)合討論;

(3)證明單調(diào)性需根據(jù)定義去求,假設(shè) 結(jié)合等式,構(gòu)造的形式,判斷符號即可證出單調(diào)性.

證明:(1)根據(jù)題意,令m=0,

可得f(0+n)=f(0)·f(n),

因?yàn)?/span>f(n)≠0,所以f(0)=1.

(2)由題意知x>0時,0<f(x)<1,

當(dāng)x=0時,f(0)=1>0,

當(dāng)x<0時,-x>0,所以0<f(-x)<1.

因?yàn)?/span>f[x+(-x)]=f(xf(-x),

所以f(xf(-x)=1,

所以f(x)=>0

xR時,恒有f(x)>0.

(3)設(shè)x1x2R,且x1x2,

f(x2)=f[x1+(x2x1)],

所以f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2x1)]-f(x1)=f(x1f(x2x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2x1)-1].

(2)f(x1)>0,又x2x1>0,

所以0<f(x2x1)<1,

f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)R上是減函數(shù).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖所示程序框圖是用“二分法”求方程的近似解的算法,有下列判斷:

①若則輸出的值在之間;

②若則程序執(zhí)行完畢將沒有值輸出;

③若則程序框圖最下面的判斷框剛好執(zhí)行8次程序就結(jié)束.

其中正確命題的個數(shù)為( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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(1)若A∩B=[1,3],求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(1)b=0,且l1l2,求實(shí)數(shù)a的值;

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【題目】下列各組中的兩個集合相等的有(  )

P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};

P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*};

P={x|x2x=0},Q.

A. ①②③ B. ①③

C. ②③ D. ①②

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【題目】某手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī),現(xiàn)對500名該手機(jī)使用者(200名女性,300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對手機(jī)進(jìn)行打分,打分的頻數(shù)分布表如下:

女性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

20

40

80

50

10

男性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

45

75

90

60

30

(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大。ú挥嬎憔唧w值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)根據(jù)評分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.

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【題目】甲乙兩人玩卡片游戲:他們手里都拿著分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片,各自從自己的卡片中隨機(jī)抽出1張,規(guī)定兩人誰抽出的卡片上的數(shù)字大,誰就獲勝,數(shù)字相同則為平局.

(1)求甲獲勝的概率.

(2)現(xiàn)已知他們都抽出了標(biāo)有數(shù)字6的卡片,為了分出勝負(fù),他們決定從手里剩下的卡片中再各自隨機(jī)抽出1張,若他們這次抽出的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù),則甲獲勝,否則乙獲勝.請問:這個規(guī)則公平嗎,為什么 ?

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(2)設(shè),且證明;

(3)在(2)小問的條件下,若對任意的,不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(1)判斷函數(shù)的奇偶性;

(2) 判斷函數(shù)(1,+)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;

(3),求實(shí)數(shù)a的取值范圍

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