Question

16．已知命題p：?x∈R，使2$\sqrt{3}$sinx+2cosx＞m成立，命題q：?x∈R，x²+mx+1＞0恒成立，若有p∧q為假，p∨q為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：命題p：?x∈R，使2$\sqrt{3}$sinx+2cosx＞m成立，
即?x∈R，使得4sin（x+$\frac{π}{6}$）＞m成立，
故p為真時，m＜4；
又命題q：?x∈R，x²+mx+1＞0恒成立，
∴q為真時，m²-4＜0，
∴-2＜m＜2；
∵p∧q為假命題，p∨q為真命題，
∴命題p、q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{m≥2或m≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，
解得：2≤m＜4或m≤-2．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查存在量詞與全稱量詞的應用，考查復合命題的判斷，屬于中檔題．